Autour d'équations aux dérivées partielles stochastiques à dérivés non-Lipschitziennes PDF Download
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Author: Caroline Cardon-Weber
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Author: Caroline Cardon-Weber
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Author: CAROLINE.. CARDON WEBER
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Languages : fr
Pages : 169
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CE TRAVAIL PORTE SUR L'ETUDE D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES ISSUES DE LA PHYSIQUE DE TYPE PARABOLIQUE, QUE NOUS PERTURBONS PAR UN TERME STOCHASTIQUE TRES IRREGULIER : UN BRUIT BLANC ESPACE-TEMPS. NOUS NOUS INTERESSONS PLUS PARTICULIEREMENT A DEUX EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES STOCHASTIQUES (EDPS) : LES EQUATIONS DE BURGERS ET DE CAHN-HILLIARD. LA PARTICULARITE DE CE TRAVAIL TIENT DANS LE FAIT QUE DANS CES DEUX EQUATIONS LES TERMES DE DERIVE ONT UNE CROISSANCE NON LINEAIRE (EN FAIT POLYNOMIALE). POUR L'EQUATION DE BURGERS, NOUS FAISONS L'ETUDE DE PROPRIETES DE CALCUL STOCHASTIQUE : GRANDES DEVIATIONS ET CARACTERISATION DU SUPPORT DE LA LOI SUR DES ESPACES DU TYPE C(O, T, L Q(D)). DANS UNE DEUXIEME PARTIE, NOUS ETUDIONS L'EDPS DE CAHN-HILLIARD. NOUS MONTRONS UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE DE SOLUTION FONCTION. PUIS GRACE AU CALCUL DES VARIATIONS STOCHASTIQUES, NOUS DEMONTRONS L'EXISTENCE DE DENSITE ET SA STRICTE POSITIVITE. DANS UN DERNIER TEMPS, NOUS EXHIBONS UN PROCEDE D'APPROXIMATION DE LA SOLUTION DE L'EDPS DE CAHN-HILLIARD PAR UN SCHEMA DE DISCRETISATION IMPLICITE AUX DIFFERENCES FINIES, ET NOUS MONTRONS LA CONVERGE DE SES APPROXIMATIONS UNIFORMEMENT EN TEMPS ET EN ESPACE. POUR RESOUDRE CE PROBLEME DE COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, L'IDEE PRINCIPALE EST DE LOCALISER L'ESPACE DE PROBABILITE , POUR SE RAMENER AU CAS D'EQUATIONS OU LES TERMES DE DERIVES SONT LIPSCHITZIENS.
Author: PIERRE LUC.. MORIEN
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Languages : fr
Pages : 127
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CE TRAVAIL SE DIVISE EN TROIS PARTIES. DANS LA PREMIERE, NOUS MONTRONS UN RESULTAT DE PROPAGATION DU CHAOS ET DE CONVERGENCE DE FLUCTUATIONS POUR UN SYSTEME D'EDPS PARABOLIQUES EN INTERACTION FAIBLE. DANS UNE SECONDE PARTIE, NOUS ETUDIONS LA REGULARITE PAR RAPPORT AUX PARAMETRES DE LA SOLUTION D'UNE EDPS PARABOLIQUE VERIFIANT UNE CONDITION D'ELLIPTICITE FORTE. DANS UNE DERNIERE PARTIE, NOUS ETUDIONS L'APPROXIMATION DE LA DENSITE D'UNE EDPS PARABOLIQUE NON LINEAIRE VIA UNE SUITE REGULARISANTE DE NOYAUX GAUSSIENS ET ETABLISSONS UN RESULTAT DE CONVERGENCE DANS CERTAINS ESPACES DE SOBOLEV.
Author: Albert Benassi
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DANS UNE PREMIERE PARTIE, L'AUTEUR ETUDIE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES STOCHASTIQUES, DE TYPES ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES. APRES AVOIR ETABLI LE THEOREME DE TRACES STOCHASTIQUES, L'AUTEUR MONTRE QUE LES CHAMPS GAUSSIENS MARKOVIENS D'ORDRE P SONT SOLUTION D'UN PROBLEME DE DIRICHLET STOCHASTIQUE, AUX LIMITES NON HOMOGENES. PAR UNE METHODE PERTURBATIVE IL PASSE AU CAS QUASI-LINEAIRE. UN THEOREME DE TYPE GIRSANOV EST ALORS OBTENU. ENSUITE, A L'AIDE D'UNE INTEGRALE STOCHASTIQUE ANTICIPANTE, L'AUTEUR DEFINIT LES "PONTS MARKOVIENS" COMME SOLUTION D'UN PROBLEME VARIATIONNEL STOCHASTIQUE DU SECOND ORDRE; CE SONT DES FONCTIONNELLES D'UN PONT BROWNIEN. DANS LE CADRE PARABOLIQUE, L'AUTEUR DEFINIT LE PROCESSUS D'ORNSTEIN-UHLEMBECK DE DIMENSION INFINIE, COMME SOLUTION DE L'EQUATION DE LANGEVIN GENERALISEE. IL DONNE L'ENSEMBLE DES MESURES INVARIANTES. DANS UNE SECONDE PARTIE, IL EST ETABLI L'HYDRODYNAMIQUE DES PROCESSUS D'EXCLUSION SIMPLE ET DE ZERO-RANGE. CECI DONNE UNE PROCEDURE STOCHASTIQUE D'APPROXIMATION DE LA SOLUTION ENTROPIQUE D'EQUATIONS HYPERBOLIQUES DU PREMIER ORDRE
Author: Bruno Saussereau
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Pages : 153
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Author: Madalina Deaconu
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Languages : fr
Pages : 186
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La première partie de cette thèse étudie certains processus stochastiques et leur lien avec les équations aux dérivées partielles via les équations différentielles stochastiques. Nous montrons tout d'abord la convergence en loi vers la mesure stationnaire pour un processus stochastique non-linéaire et réfléchi dans l'intervalle [-1,1]. Nous calculons explicitement la mesure stationnaire et nous présentons des approximations numériques pour deux cas particuliers. Ensuite, nous décrivons le comportement des temps d'atteinte pour une diffusion réelle fortement rentrante. Puis, nous considérons certains mouvements browniens réfléchis dans le disque unité et nous cherchons à maximiser l'espérance de leur temps de séjour dans ce disque. Dans la deuxième partie de ce travail, nous présentons quelques applications des espaces de Besov aux processus stochastiques. Nous nous intéressons au départ à l'appartenance du mouvement brownien itéré aux espaces de Besov et aux espaces de Besov-Orlicz. Nous examinons ensuite la régularité dans ces espaces d'un processus à deux indices, solution de l'équation de Walsh. La dernière application présente l'approximation d'une fonction sur le cube d-dimensionnel par le produit tensoriel des réseaux de neurones.
Author: Benjamin Bergé
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Languages : fr
Pages : 136
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Dans cette thèse nous étudions une classe de problèmes issus de la dynamique des populations et modélisés par des équations aux dérivées partielles paraboliques stochastiques semilinéaires dirigées par un processus de Wiener en dimension finie. Dans le premier chapitre nous évoquons le cheminement historique des idées qui ont conduit à cette étude et nous formulons des hypothèses générales de travail. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une construction de l'intégrale stochastique au sens d'Itô d'une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous y introduisons également une classe d'équations auxiliaires et nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour cette classe. Dans le troisième chapitre nous établissons un principe de comparaison pour la classe en question, ce qui nous permet en fin de compte de prouver l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour le problème de départ. Nous montrons par ailleurs que notre méthode de démonstration s'applique également bien à l'établissement d'un principe de comparaison pour les équations différentielles stochastiques ordinaires et les équations aux dérivées partielles déterministes, ce qui conduit à un traitement unifié de tous ces cas. Dans le quatrième et dernier chapitre nous étudions le comportement asymptotique d'une telle solution lorsque la variable temporelle tend vers l'infini. Nous y prouvons l'existence d'un attracteur global et nous y dégageons des conditions permettant la détermination explicite des exposants de Lyapunov relatifs aux diverses composantes de cet attracteur. Nous interprétons également certains de nos résultats dans le contexte de la génétique des populations. Dans l'annexe nous démontrons une nouvelle formule d'Itô relative à une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert.
Author: Zeina Mahdi-Khalil
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Languages : en
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Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques de type fractionnaire dirigées par un bruit gaussien additif. Le caractère fractionnaire de ces équations est donné soit par l'opérateur différentiel qui intervient (le laplacien fractionnaire) ou bien par le bruit aléatoire. La perturbation aléatoire qui dirige ces équations peut avoir une corrélation en temps ou en espace. Dans un premier temps, on analyse l'équation de la chaleur stochastique avec un opérateur différentiel donné par le laplacien fractionnaire d'ordre alpha dans ]1, 2]. Le bruit aléatoire qui intervient dans cette équation est additif et il se comporte comme un processus de Wiener par rapport à la variable temporelle et comme un bruit blanc ou colorié par rapport à la variable spatiale. Nous obtenons des résultats concernant l'existence de la solution, la régularité de ses trajectoires ainsi que sa loi de probabilité. Nous remarquons un lien étroit entre la solution de l'équation fractionnaire de la chaleur et certains processus stochastiques fractionnaires (mouvement brownien fractionnaire ou bifractionnaire). En utilisant ce lien, nous étudions le comportement asymptotique des variations généralisées de la solution, en temps et en espace. Nous proposons également, dans la situation où l'équation initiale dépend d'un paramètre de dérive (ou de drift), des estimateurs pour ce paramètre. Les estimateurs s'expriment en fonction des variations généralisées de la solution et nous utilisons les comportements de celles-ci pour obtenir les propriétés asymptotiques (consistance, normalité asymptotique) de nos estimateurs.Dans un deuxième temps, on analyse l'équation stochastique des ondes sur un intervalle fini en espace. Ici le caractère fractionnaire est donné par le bruit gaussien qui se comporte comme un mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst H dans ]1/2,1[par rapport à la variable temporelle et comme un mouvement brownien standard en espace. Notre analyse est basé sur l'écriture sous la forme d'une série trigonométrique du noyau associé à l'équation des ondes. Des différentes propriétés de la solution sont ainsi obtenues, parmi lesquelles l'existence, la continuité holdérienne de ses trajectoires, la propriété dite de scaling et le comportement par rapport à l'indice de Hurst.
Author: Said Karim Bounebache
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Languages : en
Pages : 137
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This thesis deals with some topics linked with interface model, ours aim is to find solution of some SPDE of parabolic type with singular potential. Firstly We study the motion of a random string in a convex domain O in R^d, namely the solution of a vector-valued stochastic heat equation, confined in the closure of O and reflected at the boundary of O. We study the structure of the reflection measure by computing its Revuz measure in terms of an infinite dimensional integration by parts formula.We prove extistence and uniqueness of a continuous strong solution. Our method exploits recent results on weak convergence of Markov processes with log-concave invariantmeasures.Secondly We consider a stochastic heat equation driven by a space-time white noise and with a singular drift, where a local-time in space appears. The process we study has an explicit invariant measure of Gibbs type, with a non-convex potential. We obtain existence of a Markov solution, which is associated with an explicit Dirichlet form. Moreover we study approximations of the stationary solution by means of a regularization of the singular drift or by a finite-dimensional projection. Finaly, we extend the previous methods for a SPDE in which the two types of singularity appear.
Author: Alain Bensoussan
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Languages : fr
Pages : 232
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