Méthodes itératives de décomposition de domaine sans recouvrement avec convergence géométrique pour l'équation de Helmholtz PDF Download
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Author: Matthieu Lecouvez
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 263
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Book Description
Cette thèse s’intéresse aux aspects mathématiques des méthodes itératives de résolution basées sur la décomposition de domaine et appliquées à la simulation numérique de propagation d’ondes harmoniques. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à l’élaboration de conditions de transmission optimisées garantissant la convergence exponentielle de ce type de méthodes. Une telle convergence requiert l’utilisation d’opérateurs de transmission non locaux puisqu’ils doivent correspondre formellement à un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 1. Une méthode de localisation des opérateurs est proposée pour réduire le coût engendré par ces opérateurs tout en conservant leurs propriétés et donc la convergence exponentielle de ces méthodes itératives. Dans un cadre général, la convergence des méthodes de décomposition de domaine est établie pour toute une classe d’opérateurs vérifiant certaines conditions de positivité et d’isomorphisme entre espaces de Sobolev. Nous proposons ensuite plusieurs opérateurs différents, dépendants de paramètres, qui vérifient les conditions nécessaires à la convergence exponentielle de la méthode. Un premier type d’opérateur se base sur les normes des espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire, tandis qu’un second type d’opérateur découle des potentiels de Riesz (puissance fractionnaire de l’opérateur de Laplace-Beltrami). Nous proposons ensuite un schéma numérique permettant d’appliquer la théorie développée à une méthode d’éléments finis. Une analyse modale dans le cas de géométries simples vient tout d’abord valider les conclusions théoriques de convergence exponentielle, puis plusieurs expériences numériques mettent en évidence les avantages des conditions de transmission proposées, et particulièrement dans le cas où une précision très fine sur la solution est demandée.
Author: Matthieu Lecouvez
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Category :
Languages : fr
Pages : 263
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Book Description
Cette thèse s’intéresse aux aspects mathématiques des méthodes itératives de résolution basées sur la décomposition de domaine et appliquées à la simulation numérique de propagation d’ondes harmoniques. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à l’élaboration de conditions de transmission optimisées garantissant la convergence exponentielle de ce type de méthodes. Une telle convergence requiert l’utilisation d’opérateurs de transmission non locaux puisqu’ils doivent correspondre formellement à un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 1. Une méthode de localisation des opérateurs est proposée pour réduire le coût engendré par ces opérateurs tout en conservant leurs propriétés et donc la convergence exponentielle de ces méthodes itératives. Dans un cadre général, la convergence des méthodes de décomposition de domaine est établie pour toute une classe d’opérateurs vérifiant certaines conditions de positivité et d’isomorphisme entre espaces de Sobolev. Nous proposons ensuite plusieurs opérateurs différents, dépendants de paramètres, qui vérifient les conditions nécessaires à la convergence exponentielle de la méthode. Un premier type d’opérateur se base sur les normes des espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire, tandis qu’un second type d’opérateur découle des potentiels de Riesz (puissance fractionnaire de l’opérateur de Laplace-Beltrami). Nous proposons ensuite un schéma numérique permettant d’appliquer la théorie développée à une méthode d’éléments finis. Une analyse modale dans le cas de géométries simples vient tout d’abord valider les conclusions théoriques de convergence exponentielle, puis plusieurs expériences numériques mettent en évidence les avantages des conditions de transmission proposées, et particulièrement dans le cas où une précision très fine sur la solution est demandée.
Author: Susanne C. Brenner
Publisher: Springer Nature
ISBN: 3030950255
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 778
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Book Description
These are the proceedings of the 26th International Conference on Domain Decomposition Methods in Science and Engineering, which was hosted by the Chinese University of Hong Kong and held online in December 2020. Domain decomposition methods are iterative methods for solving the often very large systems of equations that arise when engineering problems are discretized, frequently using finite elements or other modern techniques. These methods are specifically designed to make effective use of massively parallel, high-performance computing systems. The book presents both theoretical and computational advances in this domain, reflecting the state of art in 2020.
Author: Gihane Mansour
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 177
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L'objectif de ce travail est double : D'une part, la résolution à l'aide de la méthode de décomposition de domaine, de l'équation de Poisson et de l'équation de Helmholtz, avec donnée de Dirichlet homogène au bord. D'autre part, l'étude de l'équation de Laplace, avec donnée non linéaire g au bord en se basant sur la méthode du Min-Max. Dans la première partie, nous introduisons les outils indispensables sur lesquels nous nous sommes appuyés pour aborder les équations à résoudre et nous présentons deux méthodes indirectes de résolution de l'équation de Poisson: l'algorithme de Dirichlet-Neumann pénalisé barycentriquement et l'algorithme de Dirichlet-Neumann symétrisé, donné par le problème couplé. Le premier schéma a été proposé et démontré convergent par A. Quarteroni et A. Valli. Nous élaborons dans ce mémoire une nouvelle démonstration de convergence de l'algorithme. Le second schéma est nouveau : la condition de Dirichlet-Neumann est symétrisé. Nous montrons la convergence de cet algorithme vers le problème global. Les études théoriques ont montré que les deux méthodes discrétisées convergent et des estimations d'erreur portant sur l'ordre de la convergence ont été établies. Les résultats déjà trouvés ont été validés par les essais numériques, en utilisant le logiciel Comsol pour le maillage, avec le solveur de Matlab. Notons que l'algorithme symétrisé converge plus rapidement que celui pénalisé. Nous étudions ensuite le problème de Helmholtz avec données mixtes sur le bord actif, qui fournit le cadre du travail nécessaire pour examiner l'algorithme introduit par M.Balabane. Nous analysons les résultats théoriques obtenus et nous testons l'algorithme numériquement. Les essais décèlent une saturation de cette méthode pour le maillage considéré. De plus, cette méthode converge très lentement dans un voisinage de la fréquence résonnante. Une dégradation de la convergence est relevée quand la géométrie du domaine est complexe. Dans la deuxième partie, nous exposons une généralisation de l'étude faite par K. Medville et A. Vogelius, pour la résolution de l'équation de Laplace avec donnée non linéaire au bord. Dans le cas où la fonction est sous-linéaire, nous montrons que le problème admet au moins une solution. L'unicité est obtenue en imposant une condition de monotonie sur la fonction sous-linéaire. Dans le cas sur-linéaire, le nombre de solutions du problème dépend du signe du coefficient multipliant la fonction.
Author: Ronald Haynes
Publisher: Springer Nature
ISBN: 3030567508
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 508
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Book Description
These are the proceedings of the 25th International Conference on Domain Decomposition Methods in Science and Engineering, which was held in St. John's, Newfoundland, Canada in July 2018. Domain decomposition methods are iterative methods for solving the often very large systems of equations that arise when engineering problems are discretized, frequently using finite elements or other modern techniques. These methods are specifically designed to make effective use of massively parallel, high-performance computing systems. The book presents both theoretical and computational advances in this domain, reflecting the state of art in 2018.
Author: Bruno Després
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 0
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Ce travail se compose de deux parties complètement indépendantes. La première considère l'étude d'une méthode itérative de décomposition de domaine sans recouvrement, avec des conditions de transmissions de type mixte, pour résolution de problèmes de propagation d'ondes en régime fréquentiel, tels que le problème de Helmholtz ou les équations de Maxwell harmoniques. Sur le plan théorique, nous montrons la convergence dans un cadre général par des méthodes énergétiques, étudions le taux de convergence dans des cas particuliers par des méthodes spectrales, et envisageons diverses modifications de la méthode. Sur le plan numérique, nous discrétisons à l'aide des éléments finis mixtes hybrides, et exposons des résultats numériques tridimensionnels pour le problème de Helmholtz et les équations de Maxwell harmoniques. Le deuxième sujet s'intéresse à un problème inverse spectral: le théorème de Borg pour l'équation de Hill vectorielle. Nous sommes en mesure de démontrer ce théorème grâce à l'obtention d'une estimation sur la dérivée des valeurs propres par rapport au paramètre de pseudo périodicité. Cette estimation semble nouvelle.
Author: Tarek Mathew
Publisher: Springer Science & Business Media
ISBN: 354077209X
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 775
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Domain decomposition methods are divide and conquer computational methods for the parallel solution of partial differential equations of elliptic or parabolic type. The methodology includes iterative algorithms, and techniques for non-matching grid discretizations and heterogeneous approximations. This book serves as a matrix oriented introduction to domain decomposition methodology. A wide range of topics are discussed include hybrid formulations, Schwarz, and many more.
Author: Denis Duhamel
Publisher:
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Category :
Languages : en
Pages :
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Author: Caroline Japhet
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 254
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CE TRAVAIL A POUR OBJET LE DEVELOPPEMENT ET L'ETUDE D'UNE METHODE DE DECOMPOSITION DE DOMAINE, LA METHODE OPTIMISEE D'ORDRE 2 (OO2), POUR LA RESOLUTION DE L'EQUATION DE CONVECTION-DIFFUSION. SON ATOUT PRINCIPAL EST DE PERMETTRE D'UTILISER UN DECOUPAGE QUELCONQUE DU DOMAINE, SANS SAVOIR A L'AVANCE OU SONT SITUES LES PHENOMENES PHYSIQUES TELS QUE LES COUCHES LIMITES OU LES ZONES DE RECIRCULATION. LA METHODE OO2 EST UNE METHODE DE DECOMPOSITION DE DOMAINE SANS RECOUVREMENT, ITERATIVE, PARALLELISABLE. LE DOMAINE DE CALCUL EST DIVISE EN SOUS-DOMAINES, ET ON RESOUT LE PROBLEME DE DEPART DANS CHAQUE SOUS-DOMAINE, AVEC DES CONDITIONS DE RACCORD SPECIFIQUES SUR LES INTERFACES DES SOUS-DOMAINES. CE SONT DES CONDITIONS DIFFERENTIELLES D'ORDRE 1 DANS LA DIRECTION NORMALE ET D'ORDRE 2 DANS LA DIRECTION TANGENTE A L'INTERFACE QUI APPROCHENT, PAR UNE PROCEDURE D'OPTIMISATION, LES CONDITIONS AUX LIMITES ARTIFICIELLES (CLA). L'UTILISATION DES CLA EN DECOMPOSITION DE DOMAINE PERMET DE DEFINIR DES ALGORITHMES STABLES. UNE REFORMULATION DE LA METHODE DE SCHWARZ CONDUIT A UN PROBLEME D'INTERFACE. CELUI-CI EST RESOLU PAR UNE METHODE ITERATIVE DE TYPE KRYLOV (BICG-STAB, GMRES, GCR). LA METHODE EST APPLIQUEE A UN SCHEMA AUX DIFFERENCES FINIES DECENTRE, PUIS A UN SCHEMA VOLUMES FINIS. UN PRECONDITIONNEUR BASSES FREQUENCES EST ENSUITE INTRODUIT ET ETUDIE, DANS LE BUT D'AVOIR UNE CONVERGENCE INDEPENDANTE DU NOMBRE DE SOUS-DOMAINES. CE PRECONDITIONNEUR EST UNE EXTENSION AUX PROBLEMES NON-SYMETRIQUES D'UN PRECONDITIONNEUR UTILISE POUR DES PROBLEMES SYMETRIQUES. ENFIN, L'UTILISATION DE CONDITIONS DIFFERENTIELLES D'ORDRE 2 LE LONG DE L'INTERFACE NECESSITE D'AJOUTER DES CONDITIONS DE RACCORD AUX POINTS DE CROISEMENT DES SOUS-DOMAINES. UNE ETUDE EST MENEE A CE SUJET, QUI PERMET DE MONTRER QUE LES PROBLEMES DANS CHAQUE SOUS-DOMAINE SONT BIEN POSES.
Author: Yassine Boubendir
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 306
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L'objet de cette thèse est l'extension de la méthode de décomposition de domaine sans recouvrement introduite par P.-L. Lions et B. Després à la résolution par équations intégrales de problèmes de diffraction d'ondes. Nous avons tout d'abord amélioré la convergence des algorithmes de décomposition de domaine en amortissant la partie évanescente de l'erreur de résolution. Nous avons montré ensuite comment la méthode de décomposition de domaine appliquée à la résolution d'un problème de diffraction faisant intervenir des couches de diélectrique par équations intégrales pouvait diminuer de façon notable la taille des problèmes discrets à résoudre et améliorer leur conditionnement. Dans le cas d'un diélectrique non-homogène, les méthodes de résolution standard utilisent un couplage éléments finis-équations intégrales. En utilisant la méthode de décomposition de domaine, nous avons développé des procédés efficaces et robustes qui découplent complètement au niveau de chaque itération la résolution par éléments finis et celle par équations intégrales. L'utilisation des méthodes de décomposition de domaine par éléments finis nodaux se heurtait jusqu'à maintenant aux problèmes de raccord au niveau des points de jonction. Les résultats de convergence théoriques connus jusqu'à présent pour les problèmes discrets étaient limités à des résolutions par éléments finis mixtes. En montrant que ces résolutions sont équivalentes en fait à un schéma non conforme, nous avons obtenu une explication de la propriété de ces méthodes d'éviter la difficulté du traitement des points de jonction. Cependant, ces méthodes restent plus chères et moins standard que les méthodes nodales. Nous avons pu développer un procédé de traitement des points de jonction qui permet de développer une méthode de décomposition de domaine au niveau discret qui est exactement une méthode itérative de résolution du problème complet. Nous avons établi de façon théorique la convergence de cet algorithme et prouvé que dans certaines situations l'erreur était diminuée par une contraction dont la constante est indépendante du maillage.
Author: Abderrahman Bendali
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 10
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