Equations différentielles stochastiques rétrogrades avec condition finale singulière PDF Download
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Author: Alexandre Popier (François, Roland)
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 130
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Author: Alexandre Popier (François, Roland)
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : fr
Pages : 130
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Author: Mingyu Xu
Publisher:
ISBN:
Category :
Languages : en
Pages : 218
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In the first chapter, we consider the reflected backward stochastic differential equation (BSDEsin short) with one or two right continuous and left limited (RCLL in short) barriers. Using the Picarditeration method, we obtained the existence and uniqueness of the solution of the reflected BSDEwith two RCLL barriers. Then we use the penalization method to the case of one RCLL barrier.Considering the solutions (Y n,Zn,Kn) of penalized equations as solutions of reflected BSDEs,we prove that the limit (Y,Z,K) is the solution of equation, by properties of Snell envelope andmonotonic limit theorem (Peng S., 1999). In the case of equation with two RCLL barriers, by theanalogue method, we prove the limit (Y,Z,K) of penalized equation is the solution of problem,by the representation of solutions via Dynkin game. Here we need a generalized monotonic limittheorem, which permit us to pass the limit for penalized equations.In a second work, we have generalized this type of result to the case where barriers are just inL2, by the method of penalization and the theory of g-supersolution.In the second chapter, we consider the reflected BSDEs with one continuous barrier, associatedto (_, f,L), when _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) is continuous, satisfies monotonic and general increasingconditions on y, and Lipschitz condition on z, and when the barrier (Lt)0_t_T is a progressivelymeasurable continuous process, which verifies certain integrability condition.We have also notable prove the existence and uniqueness of solution in L2, for this reflectedequation with determinist terminal time. The proof of existence is effected by four steps. The firststep consists to prove the result under the boundness condition of _, f(t, 0) et L+. The second step(the most delicate) consists to relax the boundness condition of L+ ; the following two step permitus to obtain the general result, relaxing the boundness condition on _ and f(t, 0). The comparisontheorems play important roles, which help us to pass the limit in the equations. Then we study thecase when the terminal time is a stopping time. The existence and uniqueness of the solution arealso proved.In the third chapter, we have studied the reflected BSDEs with one barrier, whose generator fsatisfies the monotonic and general increasing condition on y, and quadratic and linear condition onz, when the barrier L is uniformly bounded. We prove the existence of a solution by approximation,under these conditions. We also find a necessary and sufficient condition for the case f(t, !, y, z) =|z|2, and construct its solution explicitly. For the case f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), we prove asufficient condition.In the forth chapter, we treat the reflected BSDE with two barrier, when f satisfies the mono-tonic, continuous and general increasing conditions on y, and Lipschitz condition on z, like in thesecond chapter. For the barriers, we suppose that L and U are continuous, L
Author: PHILIPPE.. BRIAND
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Languages : fr
Pages : 155
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CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE DE METHODES PROBABILISTES POUR LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES NON-LINEAIRES. DANS UN PREMIER TEMPS, ON GENERALISE LA FORMULE EXPLICITE DU CALCUL DES COEFFICIENTS DU DEVELOPPEMENT EN CHAOS DE WIENER D'UNE FONCTION D'UN PROCESSUS DE DIFFUSION, INTRODUITE PAR N.K. KRYLOV ET A.J. VERETENNIKOV, LORSQUE CETTE FONCTION EST A CROISSANCE POLYNOMINALE, ET SANS FAIRE D'HYPOTHESE DE NON-DEGENERESCENCE DE LA DIFFUSION. DANS LA DEUXIEME PARTIE, ON ETABLIT UNE FORMULE DE TYPE FEYNMAN-KAC POUR LES SOLUTIONS DE VISCOSITE D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES SEMI-LINEAIRES DE TYPE PARABOLIQUE COMPORTANT DES COEFFICIENTS SEULEMENT LOCALEMENT LIPSCHITZIENS. CETTE FORMULE, OBTENUE A L'AIDE D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES ET D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES (DONT LA NON-EXPLOSION DES SOLUTIONS EST GARANTIE PAR L'EXISTENCE D'UNE FONCTION DE LYAPUNOV), ETEND CELLE ETABLIE PAR E. PARDOUX ET S. PENG. DANS LA TROISIEME PARTIE, ON ETUDIE D'ABORD LA STABILITE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES AVEC TEMPS FINAL ALEATOIRE ET ON MONTRE UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE POUR CES EQUATIONS DANS LE CAS UNIDIMENSIONNEL. ON APPLIQUE ENSUITE CES RESULTATS A L'ETUDE DE L'HOMOGENEISATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES SEMI-LINEAIRES DE TYPE ELLIPTIQUE. ENFIN, DANS LA DERNIERE PARTIE, ON DEVELOPPE UNE APPROCHE PROBABILISTE POUR DECRIRE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES PARABOLIQUES QUASI-LINEAIRES PERTURBEES SINGULIEREMENT. CETTE APPROCHE REPOSE SUR DES PROPRIETES DE STABILITE POUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES PROGRESSIVES-RETROGRADES QUI SONT DEMONTREES.
Author: Adrien Richou
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Languages : en
Pages : 130
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This thesis is made of three independent parts. Firstly, we study a new class of ergodic backward stochastic differential equations - EBSDEs for short - which is linked with semi-linear Neumann type boundary value problems related to ergodic phenomena. The particularity of these problems is that the ergodic constant appears in Neumann boundary conditions. We study the existence and uniqueness of solutions to EBSDEs and the link with partial differential equations. We also apply these results to optimal ergodic control problems. In a second part, we generalise a work of P. Briand and Y. Hu published in 2008. these authors have proved the uniqueness among the solutions of quadratic BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions which admit every exponential moments. We prove that uniqueness holds among solutions which admit some given exponential moments. These exponential moments are natural as they are given by the existence theorem. Thanks to this uniqueness result we can strengthen the nonlinear Feynman-Kac formula proved by P. Briand and Y. Hu. Finally, we deal with the numerical resolution of Markovian quadratic BSDEs with bounded terminal conditions. We first show some bound estimates on the process Z and we specify the Zhang’s path regularity theorem. Then we give a new time discretization scheme with a non uniform time net for such BSDEs and we obtain an explicit convergence rate for this scheme. We also compute some numerical simulations to study the efficiency of our scheme in a practical situation.
Author: Pierre-Yves Madec
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Languages : fr
Pages : 0
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Cette thèse s'intéresse à l'étude des EDSR ergodiques et à leurs applications à l'étude du comportement en temps long des solutions d'EDP paraboliques semi-linéaires. Dans un premier temps, nous établissons des résultats d'existence et d'unicité d'une EDSR ergodique avec conditions de Neumann au bord dans un convexe non borné et dans un environnement faiblement dissipatif. Nous étudions ensuite leur lien avec les EDP avec conditions de Neumann au bord et nous donnons un exemple d'application à un problème de contrôle optimal stochastique. La deuxième partie est constituée de deux sous-parties. Tout d'abord, nous étudions le comportement en temps long des solutions mild d'une EDP parabolique semi-linéaire en dimension infinie par des méthodes probabilistes. Cette méthode probabiliste repose sur une application d'un résultat nommé "Basic coupling estimate" qui nous permet d'obtenir une vitesse de convergence exponentielle de la solution vers sons asymptote. Au passage notons que cette asymptote est entièrement déterminée par la solution de l'EDP ergodique semi-linéaire associée à l'EDP parabolique semi-linéaire initiale. Puis, nous adaptons cette méthode à l'étude du comportement en temps long des solutions de viscosité d'une EDP parabolique semi-linéaire avec condition de Neumann au bord dans un convexe borné en dimension finie. Par des méthodes de régularisation et de pénalisation des coefficients et en utilisant un résultat de stabilité pour les EDSR, nous obtenons des résultats analogues à ceux obtenus dans le contexte mild, avec notamment une vitesse exponentielle de convergence de la solution vers son asymptote.
Author: Sophie Rainero
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Nous montrons des principes de grandes déviations pour des solutions d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades à horizon déterministe, et nous donnons une application de ces résultats à la théorie de la gestion du risque de crédit. Nous étudions également l'existence, l'unicité et la stabilité des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades à horizon aléatoire sous de nouvelles hypothèses. Nous établissons des principes de grandes déviations pour les solutions de telles équations, construites à partir d'une famille de processus de Markov dont le coefficient de diffusion tend vers zéro. Nous en déduisons des résultats de convergence de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires, elliptiques et paraboliques, qui étendent ceux de Freidlin et Wentzell.
Author: David Chevance
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Pages : 134
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LA PREMIERE PARTIE DE CETTE THESE A POUR OBJET LA CONSTRUCTION D'UN ALGORITHME PROBABILISTE POUR RESOUDRE NUMERIQUEMENT DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES (EDSR) DANS LE CAS MARKOVIEN, OU L'EQUATION EST ASSOCIEE A UN PROCESSUS FORWARD SOLUTION D'UNE EDS. NOUS DECRIVONS UN PREMIER ALGORITHME QUI REPOSE SUR UNE DOUBLE DISCRETISATION DE L'EQUATION, EN TEMPS ET EN ESPACE, ET UTILISE DES SIMULATIONS DE TRAJECTOIRES DU PROCESSUS FORWARD. LA DISCRETISATION EN TEMPS EST UNE EXTENSION DU SCHEMA D'EULER POUR LES EDS, OU L'ON A REMPLACE LE MOUVEMENT BROWNIEN PAR UNE MARCHE ALEATOIRE. ON INTRODUIT ENSUITE UNE APPROXIMATION SUPPLEMENTAIRE EN PROJETANT A CHAQUE INSTANT DE DISCRETISATION LE PROCESSUS FORWARD SUR L'ENSEMBLE DES TRAJECTOIRES SIMULEES. ON EVITE AINSI UNE COMPLEXITE ALGORITHMIQUE QUI SERAIT EXPONENTIELLE. NOUS MONTRONS UNE VITESSE DE CONVERGENCE POUR CET ALGORITHME DANS LE CADRE DE LA DIMENSION 1. NOUS PRESENTONS AUSSI UNE VARIANTE DE CE ALGORITHME, ADAPTEE A DES EDSR DONT LES PARAMETRES SONT MOINS REGULIERS, EN REMPLACANT NOTAMMENT LE SCHEMA D'EULER DANS LA DISCRETISATION DU PROCESSUS FORWARD PAR LE SCHEMA DE MILSHTEIN. CELA NOUS PERMET ENSUITE D'ECRIRE UN ALGORITHME DE DISCRETISATION D'EDSR REFLECHIES. DANS UNE SECONDE PARTIE, NOUS ANALYSONS L'APPROXIMATION DE MACMILLAN, ET BARONE-ADESI ET WHALEY, UTILISEE EN FINANCE POUR ESTIMER LE PRIX D'UNE OPTION AMERICAINE. EN ECRIVANT LE PRIX DE L'OPTION AMERICAINE COMME LA SOLUTION D'UNE CERTAINE EQUATION DIFFERENTIELLE STOCHASTIQUE RETROGRADE REFLECHIE, NOUS OBTENONS UNE BORNE GENERALE POUR L'ERREUR DE L'APPROXIMATION ET NOUS MONTRONS QUE L'APPROXIMATION CONVERGE VERS LE PRIX EXACT QUAND LA VOLATILITE DU SOUS-JACENT TEND VERS ZERO. NOUS PROPOSONS ENSUITE UNE DEUXIEME DEMONSTRATION, PLUS ELEMENTAIRE, DE CE RESULTAT ASYMPTOTIQUE, EN FAISANT INTERVENIR LE PRIX D'UN PUT PERPETUEL.
Author: Fabrice Blache
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Pages : 143
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Cette thèse est consacrée à l'étude d'un certain type d'équations differentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec une dérive f, dont les solutions prennent leur valeur sur une variété riemannienne munie d'une connexion. Dans la première partie, on étudie deux cas particulers : le cas d'une dérive f simple et le cas d'une dérive plus générale, mais seulement sur des variétés de Cartan-Hadamard. Dans la deuxième partie, on complète les résultats précédents dans un cadre plus général. Nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité d'une solution, pour des processus à valeurs dans des domaines ayant des propriétés de convexité. Nous faisons aussi le lien avec la théorie des EDP, en particulier le problème de Dirichlet et l'equation de la chaleur sur les variétés. Enfin dans la troisième partie, on donne un résultat d'approximation des trajectoires solutions par des processus à temps discret.
Author: David Chevance
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Author: Anis Matoussi
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