Existence, stabilité et instabilité d'ondes stationnaires pour quelques équations de Klein-Gordon et Schrödinger non linéaires PDF Download
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Author: Stefan Le Coz
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Languages : fr
Pages : 118
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Book Description
Cette thèse porte sur J'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de SchrOdinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales: l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. L'existence est étudiée par des méthodes essentielleme~tvariationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ouauni~eau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes. Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explœion, tàndis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En partic\Ùier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par ]a combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.
Author: Stefan Le Coz
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Languages : fr
Pages : 118
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Book Description
Cette thèse porte sur J'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de SchrOdinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales: l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. L'existence est étudiée par des méthodes essentielleme~tvariationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ouauni~eau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes. Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explœion, tàndis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En partic\Ùier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par ]a combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.
Author: Walter A. Strauss
Publisher: American Mathematical Soc.
ISBN: 0821807250
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 106
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Book Description
The theory of nonlinear wave equations in the absence of shocks began in the 1960s. Despite a great deal of recent activity in this area, some major issues remain unsolved, such as sharp conditions for the global existence of solutions with arbitrary initial data, and the global phase portrait in the presence of periodic solutions and traveling waves. This book, based on lectures presented by the author at George Mason University in January 1989, seeks to present the sharpest results to date in this area. The author surveys the fundamental qualitative properties of the solutions of nonlinear wave equations in the absence of boundaries and shocks. These properties include the existence and regularity of global solutions, strong and weak singularities, asymptotic properties, scattering theory and stability of solitary waves. Wave equations of hyperbolic, Schrodinger, and KdV type are discussed, as well as the Yang-Mills and the Vlasov-Maxwell equations. The book offers readers a broad overview of the field and an understanding of the most recent developments, as well as the status of some important unsolved problems. Intended for mathematicians and physicists interested in nonlinear waves, this book would be suitable as the basis for an advanced graduate-level course.
Author: Anne de Bouard
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Languages : fr
Pages :
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Book Description
CETTE THESE EST CONSTITUEE DE TROIS PARTIES PORTANT CHACUNE SUR L'ETUDE DE CERTAINES PROPRIETES D'EQUATIONS D'ONDES NON LINEAIRE DISPERSIVES DE TYPE SCHRODINGER INTERVENANT DANS DIFFERENTS DOMAINES DE LA PHYSIQUE. DANS LA PREMIERE PARTIE, ON ETUDIE LE PROBLEME DE CAUCHY ASSOCIE A UNE EQUATION DE SCHRODINGER NON LINEAIRE EN PRESENCE D'UN CHAMP MAGNETIQUE EXTERNE. SOUS CERTAINES RESTRICTIONS DE CROISSANCE SUR LES POTENTIELS APPARAISSANT DANS L'EQUATION ET SUR LE TERME NON LINEAIRE, ON MONTRE L'EXISTENCE LOCALE EN TEMPS ET L'UNICITE DES SOLUTIONS DU PROBLEME DE CAUCHY POUR CETTE EQUATION DANS DES ESPACES DE TYPE SOBOLEV A POIDS, AINSI QUE LA CONSERVATION DE L'ENERGIE ASSOCIEE A L'EQUATION. DANS LA SECONDE PARTIE, ON ETUDIE L'EXISTENCE DE SOLUTIONS ANALYTIQUES TRES REGULIERES POUR UNE EQUATION DE TYPE SCHRODINGER NON LINEAIRE ASSEZ GENERALE, ENGLOBANT UN CERTAIN NOMBRE DE MODELES PHYSIQUES REGISSANT LE MOUVEMENT DES ONDES AQUATIQUES DE SURFACE, DANS LESQUELS LE TERME LINEAIRE PEUT ETRE UN OPERATEUR DIFFERENTIEL D'ORDRE SUPERIEUR A DEUX, ET FAISANT EVENTUELLEMENT INTERVENIR UN TERME NON LINEAIRE NON LOCAL. LA TROISIEME PARTIE EST CONSACREE A L'ETUDE DE L'EXISTENCE ET DE L'INSTABILITE DE CERTAINES SOLUTIONS STATIONNAIRES LOCALISEES D'UNE EQUATION DE SCHRODINGER NON LINEAIRE DANS LAQUELLE LA NON-LINEARITE EST RELATIVEMENT GENERALE. CES SOLUTIONS GENERALISEES ONT LA PARTICULARITE D'AVOIR UNE LIMITE NON NULLE LORSQUE LA VARIABLE D'ESPACE TEND VERS L'INFINI, ET PEUVENT ETRE INTERPRETEES PHYSIQUEMENT LORSQUE LE TERME NON LINEAIRE EST BIEN CHOISI. ON MONTRE EN LINEARISANT L'EQUATION QUE, LORSQU'ELLES EXISTENT, CES SOLUTIONS GENERALISEES SONT TOUJOURS DES SOLUTIONS INSTABLES DE L'EQUATION D'EVOLUTION
Author: Fouad Hadj Selem
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Languages : fr
Pages : 184
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L'objet de ce travail est l'étude de la structure des ondes stationnaires radialement symétriques pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec un potentiel harmonique. Les comportements global et local de la bifurcation sont déterminés indiquant l'existence d'une infinité d'états localisés symétriques. En particulier, notre théorie fournit une preuve théorique de l'existence d'une solution avec un nombre de zéros prescrit en fonction de la fréquence de l'onde. Après une étude théorique du trois cas , des calculs numériques sont présentés dans la deuxième partie de cette thèse, en vue de fournir une illustration des résultats théoriques obtenus et aussi d'aborder des problèmes pour lesquels peu de résultats théoriques sont connus, notamment la stabilité des états excités et la multiplicité des solutions s'annulant k fois dans le cas critique et surcritique (phénomène de Brézis-Nirenberg)
Author: Nabile Boussaid
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Languages : en
Pages : 164
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This thesis is devoted to the study of the stability of small stationary solutions of a nonlinear time dependent equation coming from relativistic quantum mechanics: the nonlinear Dirac equation. In this study, non linear equations are viewed as small nonlinear perturbations of linear systems. A part of this thesis is hence devoted to the study of linear problems. We prove that for a Dirac operator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue at thresholds, the propagator satisfies propagation and dispersive estimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Kato and Strichartz estimates. With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of a Dirac operator, we build small manifolds of stationary states. Then with small variations on these assumptions, we can highlight some stabilization process and orbital instability phenomena for some stationary states.
Author: Lucie Delcey
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Languages : en
Pages : 0
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Dans le cadre de ce projet de thèse nous étudierons la stabilité temporelle des ondes progressives périodiques et localisées pour l'équation de Lugiato-Lefever, récemment redécouverte en photonique dans le contexte de la formation de peignes de fréquences par effet Kerr dans des résonateurs optiques à modes de galerie. L'équation de Lugiato-Lefever peut être vue comme une version de l'équation de Schrödinger non linéaire incluant des termes d'amortissement, d'excitation extérieure, et de décalage fréquentiel de résonance. D'un point de vue mathématique, cette équation a été très peu étudiée et de nombreuses questions, notamment sur la dynamique de ses solutions, sont entièrement ouvertes. Dans un travail en cours de rédaction, Cyril Godey (doctorant au LMB financé par la région Franche-Comté) a effectué une analyse systématique des bifurcations locales des ondes non linéaires de l'équation de Lugiato-Lefever montrant l'existence de nombreuses solutions, dont certaines encore inconnues dans la littérature physique. Une grande partie des solutions observées expérimentalement ont pu être identifiées par cette analyse. L'étape suivante consiste dans l'étude des propriétés de stabilité. Dans ce projet de thèse nous comptons étudier de manière systématique la stabilité des ondes périodiques et localisées, et tout particulièrement -- la stabilité spectrale, qui fournit des conditions nécessaires de stabilité, et -- la stabilité non linéaire, orbitale et asymptotique, qui donne des conditions suffisantes de stabilité. Ces ondes jouent un rôle central dans le problème physique mentionné ci-dessus, et un des buts recherchés, au-delà de l'analyse mathématique, est de permettre une meilleure compréhension du problème physique.
Author: V. Babelon
Publisher: Springer Science & Business Media
ISBN: 1461203155
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 368
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This book constitutes the proceedings of the International Conference on Integrable Systems in memory of J.-L. Verdier. It was held on July 1-5, 1991 at the Centre International de Recherches Mathematiques (C.I.R.M.) at Luminy, near Marseille (France). This collection of articles, covering many aspects of the theory of integrable Hamiltonian systems, both finite and infinite-dimensional, with an emphasis on the algebro-geometric meth ods, is published here as a tribute to Verdier who had planned this confer ence before his death in 1989 and whose active involvement with this topic brought integrable systems to the fore as a subject for active research in France. The death of Verdier and his wife on August 25, 1989, in a car accident near their country house, was a shock to all of us who were acquainted with them, and was very deeply felt in the mathematics community. We knew of no better way to honor Verdier's memory than to proceed with both the School on Integrable Systems at the C.I.M.P.A. (Centre International de Mathematiques Pures et Appliquees in Nice), and the Conference on the same theme that was to follow it, as he himself had planned them.
Author: C. Bardos
Publisher: Springer Science & Business Media
ISBN: 9400990049
Category : Science
Languages : en
Pages : 591
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Book Description
One of the main ideas in organizing the Summer Institute of Cargese on "Bifurcation Phenomena in Mathematical Physics and Related Topics" was to bring together Physicists and Mathematicians working on the properties arising from the non linearity of the phenomena and of the models that are used for their description. Among these properties the existence of bifurcations is one of the most interesting, and we had a general survey of the mathematical tools used in this field. This survey was done by M. Crandall and P. Rabinowitz and the notes enclosed in these proceedings were written by E. Buzano a]ld C. Canuto. Another mathematical approach, using Morse Theory was given by J. Smoller reporting on a joint work with C. Conley. An example of a direct application was given by M. Ghil. For physicists the theory of bifurcation is closely related to critical phenomena and this was explained in a series of talks given by J.P. Eckmann, G. Baker and M. Fisher. Some related ideas can be found in the talk given by T. T. Wu , on a joint work with Barry Mc Coy on quantum field theory. The description of these phenomena leads to the use of Pade approximants (it is explained for instance in the lectures of J. Nuttall) and then to some problems in drop hot moment problems. (cf. the lecture of D. Bessis).
Author: Mark Aleksandrovich Krasnoselʹskiĭ
Publisher:
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Category :
Languages : en
Pages : 395
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Author: Thierry Passot
Publisher: American Mathematical Soc.
ISBN: 0821837230
Category : Science
Languages : en
Pages : 322
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Book Description
This book covers a variety of topics related to kinetic theory in neutral gases and magnetized plasmas, with extensions to other systems such as quantum plasmas and granular flows. A comprehensive presentation is given for the Boltzmann equations and other kinetic equations for a neutral gas, together with the derivations of compressible and incompressible fluid dynamical systems, and their rigorous justification. Several contributions are devoted to collisionless magnetized plasmas. Rigorous results concerning the well-posedness of the Vlasov-Maxwell system are presented. Special interest is devoted to asymptotic regimes where the scales of variation of the electromagnetic field are clearly separated from those associated with the gyromotion of the particles. This volume collects lectures given at the Short Course and Workshop on Kinetic Theory organized at the Fields Institute of Mathematical Sciences in Toronto during the Spring of 2004.
