Étude théorique et numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades PDF Download
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Author: Adrien Richou
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Languages : en
Pages : 130
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Book Description
This thesis is made of three independent parts. Firstly, we study a new class of ergodic backward stochastic differential equations - EBSDEs for short - which is linked with semi-linear Neumann type boundary value problems related to ergodic phenomena. The particularity of these problems is that the ergodic constant appears in Neumann boundary conditions. We study the existence and uniqueness of solutions to EBSDEs and the link with partial differential equations. We also apply these results to optimal ergodic control problems. In a second part, we generalise a work of P. Briand and Y. Hu published in 2008. these authors have proved the uniqueness among the solutions of quadratic BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions which admit every exponential moments. We prove that uniqueness holds among solutions which admit some given exponential moments. These exponential moments are natural as they are given by the existence theorem. Thanks to this uniqueness result we can strengthen the nonlinear Feynman-Kac formula proved by P. Briand and Y. Hu. Finally, we deal with the numerical resolution of Markovian quadratic BSDEs with bounded terminal conditions. We first show some bound estimates on the process Z and we specify the Zhang’s path regularity theorem. Then we give a new time discretization scheme with a non uniform time net for such BSDEs and we obtain an explicit convergence rate for this scheme. We also compute some numerical simulations to study the efficiency of our scheme in a practical situation.
Author: Adrien Richou
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Category :
Languages : en
Pages : 130
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This thesis is made of three independent parts. Firstly, we study a new class of ergodic backward stochastic differential equations - EBSDEs for short - which is linked with semi-linear Neumann type boundary value problems related to ergodic phenomena. The particularity of these problems is that the ergodic constant appears in Neumann boundary conditions. We study the existence and uniqueness of solutions to EBSDEs and the link with partial differential equations. We also apply these results to optimal ergodic control problems. In a second part, we generalise a work of P. Briand and Y. Hu published in 2008. these authors have proved the uniqueness among the solutions of quadratic BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions which admit every exponential moments. We prove that uniqueness holds among solutions which admit some given exponential moments. These exponential moments are natural as they are given by the existence theorem. Thanks to this uniqueness result we can strengthen the nonlinear Feynman-Kac formula proved by P. Briand and Y. Hu. Finally, we deal with the numerical resolution of Markovian quadratic BSDEs with bounded terminal conditions. We first show some bound estimates on the process Z and we specify the Zhang’s path regularity theorem. Then we give a new time discretization scheme with a non uniform time net for such BSDEs and we obtain an explicit convergence rate for this scheme. We also compute some numerical simulations to study the efficiency of our scheme in a practical situation.
Author: David Chevance
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Languages : fr
Pages : 134
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LA PREMIERE PARTIE DE CETTE THESE A POUR OBJET LA CONSTRUCTION D'UN ALGORITHME PROBABILISTE POUR RESOUDRE NUMERIQUEMENT DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES (EDSR) DANS LE CAS MARKOVIEN, OU L'EQUATION EST ASSOCIEE A UN PROCESSUS FORWARD SOLUTION D'UNE EDS. NOUS DECRIVONS UN PREMIER ALGORITHME QUI REPOSE SUR UNE DOUBLE DISCRETISATION DE L'EQUATION, EN TEMPS ET EN ESPACE, ET UTILISE DES SIMULATIONS DE TRAJECTOIRES DU PROCESSUS FORWARD. LA DISCRETISATION EN TEMPS EST UNE EXTENSION DU SCHEMA D'EULER POUR LES EDS, OU L'ON A REMPLACE LE MOUVEMENT BROWNIEN PAR UNE MARCHE ALEATOIRE. ON INTRODUIT ENSUITE UNE APPROXIMATION SUPPLEMENTAIRE EN PROJETANT A CHAQUE INSTANT DE DISCRETISATION LE PROCESSUS FORWARD SUR L'ENSEMBLE DES TRAJECTOIRES SIMULEES. ON EVITE AINSI UNE COMPLEXITE ALGORITHMIQUE QUI SERAIT EXPONENTIELLE. NOUS MONTRONS UNE VITESSE DE CONVERGENCE POUR CET ALGORITHME DANS LE CADRE DE LA DIMENSION 1. NOUS PRESENTONS AUSSI UNE VARIANTE DE CE ALGORITHME, ADAPTEE A DES EDSR DONT LES PARAMETRES SONT MOINS REGULIERS, EN REMPLACANT NOTAMMENT LE SCHEMA D'EULER DANS LA DISCRETISATION DU PROCESSUS FORWARD PAR LE SCHEMA DE MILSHTEIN. CELA NOUS PERMET ENSUITE D'ECRIRE UN ALGORITHME DE DISCRETISATION D'EDSR REFLECHIES. DANS UNE SECONDE PARTIE, NOUS ANALYSONS L'APPROXIMATION DE MACMILLAN, ET BARONE-ADESI ET WHALEY, UTILISEE EN FINANCE POUR ESTIMER LE PRIX D'UNE OPTION AMERICAINE. EN ECRIVANT LE PRIX DE L'OPTION AMERICAINE COMME LA SOLUTION D'UNE CERTAINE EQUATION DIFFERENTIELLE STOCHASTIQUE RETROGRADE REFLECHIE, NOUS OBTENONS UNE BORNE GENERALE POUR L'ERREUR DE L'APPROXIMATION ET NOUS MONTRONS QUE L'APPROXIMATION CONVERGE VERS LE PRIX EXACT QUAND LA VOLATILITE DU SOUS-JACENT TEND VERS ZERO. NOUS PROPOSONS ENSUITE UNE DEUXIEME DEMONSTRATION, PLUS ELEMENTAIRE, DE CE RESULTAT ASYMPTOTIQUE, EN FAISANT INTERVENIR LE PRIX D'UN PUT PERPETUEL.
Author: David Chevance
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Languages : fr
Pages : 0
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Author: Fabrice Blache
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Languages : fr
Pages : 143
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Cette thèse est consacrée à l'étude d'un certain type d'équations differentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec une dérive f, dont les solutions prennent leur valeur sur une variété riemannienne munie d'une connexion. Dans la première partie, on étudie deux cas particulers : le cas d'une dérive f simple et le cas d'une dérive plus générale, mais seulement sur des variétés de Cartan-Hadamard. Dans la deuxième partie, on complète les résultats précédents dans un cadre plus général. Nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité d'une solution, pour des processus à valeurs dans des domaines ayant des propriétés de convexité. Nous faisons aussi le lien avec la théorie des EDP, en particulier le problème de Dirichlet et l'equation de la chaleur sur les variétés. Enfin dans la troisième partie, on donne un résultat d'approximation des trajectoires solutions par des processus à temps discret.
Author: Mingyu Xu
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Languages : en
Pages : 218
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In the first chapter, we consider the reflected backward stochastic differential equation (BSDEsin short) with one or two right continuous and left limited (RCLL in short) barriers. Using the Picarditeration method, we obtained the existence and uniqueness of the solution of the reflected BSDEwith two RCLL barriers. Then we use the penalization method to the case of one RCLL barrier.Considering the solutions (Y n,Zn,Kn) of penalized equations as solutions of reflected BSDEs,we prove that the limit (Y,Z,K) is the solution of equation, by properties of Snell envelope andmonotonic limit theorem (Peng S., 1999). In the case of equation with two RCLL barriers, by theanalogue method, we prove the limit (Y,Z,K) of penalized equation is the solution of problem,by the representation of solutions via Dynkin game. Here we need a generalized monotonic limittheorem, which permit us to pass the limit for penalized equations.In a second work, we have generalized this type of result to the case where barriers are just inL2, by the method of penalization and the theory of g-supersolution.In the second chapter, we consider the reflected BSDEs with one continuous barrier, associatedto (_, f,L), when _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) is continuous, satisfies monotonic and general increasingconditions on y, and Lipschitz condition on z, and when the barrier (Lt)0_t_T is a progressivelymeasurable continuous process, which verifies certain integrability condition.We have also notable prove the existence and uniqueness of solution in L2, for this reflectedequation with determinist terminal time. The proof of existence is effected by four steps. The firststep consists to prove the result under the boundness condition of _, f(t, 0) et L+. The second step(the most delicate) consists to relax the boundness condition of L+ ; the following two step permitus to obtain the general result, relaxing the boundness condition on _ and f(t, 0). The comparisontheorems play important roles, which help us to pass the limit in the equations. Then we study thecase when the terminal time is a stopping time. The existence and uniqueness of the solution arealso proved.In the third chapter, we have studied the reflected BSDEs with one barrier, whose generator fsatisfies the monotonic and general increasing condition on y, and quadratic and linear condition onz, when the barrier L is uniformly bounded. We prove the existence of a solution by approximation,under these conditions. We also find a necessary and sufficient condition for the case f(t, !, y, z) =|z|2, and construct its solution explicitly. For the case f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), we prove asufficient condition.In the forth chapter, we treat the reflected BSDE with two barrier, when f satisfies the mono-tonic, continuous and general increasing conditions on y, and Lipschitz condition on z, like in thesecond chapter. For the barriers, we suppose that L and U are continuous, L
Author: Marie-Amélie Morlais
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Languages : fr
Pages : 193
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Dans cette thèse, l’étude menée consiste à établir de nouveaux résultats théoriques concernant des problèmes d’existence et d’unicité pour des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR) à croissance quadratique . Ceci a notamment pour but de permettre la résolution d’un problème de mathématiques financières, à savoir la maximisation de l’utilité exponentielle d’un portefeuille sous contraintes. Généralisant des résultats déjà connus en filtration brownienne pour les EDSR quadratiques, ce travail permet ainsi d’apporter des réponses au problème financier dans des contextes plus généraux.
Author: Paul Éric Chaudru de Raynal
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Languages : en
Pages : 0
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This thesis deals with two subjects: the strong well-posedness of stochastic differential equations with Hölder drift and hypoelliptic noise and the simulation of decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type. In the first work, we study a class of degenerate system with hypoelliptic noise. We prove that strong well-posedness holds for this system when the drift is only H "{o}lder, with Hölder exponent larger than the critical value 2/3. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) and Krylov and Röckner (2005). The existence of a threshold for the Hölder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method. In the second work, we propose a new algorithm to approach weakly the solution of a McKean-Vlasov stochastic differential equation. Based on the cubature method, the algorithm is deterministic differing from the usual methods based on interacting particles. It can be parametrized in order to obtain a given order of convergence. Then, we construct implementable algorithms to solve decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type, which appear in some stochastic control problems in a mean field environment. We give two algorithms and show that they have convergence of orders one and two under appropriate regularity conditions.
Author: PHILIPPE.. BRIAND
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Languages : fr
Pages : 155
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CETTE THESE EST CONSACREE A L'ETUDE DE METHODES PROBABILISTES POUR LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES NON-LINEAIRES. DANS UN PREMIER TEMPS, ON GENERALISE LA FORMULE EXPLICITE DU CALCUL DES COEFFICIENTS DU DEVELOPPEMENT EN CHAOS DE WIENER D'UNE FONCTION D'UN PROCESSUS DE DIFFUSION, INTRODUITE PAR N.K. KRYLOV ET A.J. VERETENNIKOV, LORSQUE CETTE FONCTION EST A CROISSANCE POLYNOMINALE, ET SANS FAIRE D'HYPOTHESE DE NON-DEGENERESCENCE DE LA DIFFUSION. DANS LA DEUXIEME PARTIE, ON ETABLIT UNE FORMULE DE TYPE FEYNMAN-KAC POUR LES SOLUTIONS DE VISCOSITE D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES SEMI-LINEAIRES DE TYPE PARABOLIQUE COMPORTANT DES COEFFICIENTS SEULEMENT LOCALEMENT LIPSCHITZIENS. CETTE FORMULE, OBTENUE A L'AIDE D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES ET D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES (DONT LA NON-EXPLOSION DES SOLUTIONS EST GARANTIE PAR L'EXISTENCE D'UNE FONCTION DE LYAPUNOV), ETEND CELLE ETABLIE PAR E. PARDOUX ET S. PENG. DANS LA TROISIEME PARTIE, ON ETUDIE D'ABORD LA STABILITE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES RETROGRADES AVEC TEMPS FINAL ALEATOIRE ET ON MONTRE UN THEOREME D'EXISTENCE ET D'UNICITE POUR CES EQUATIONS DANS LE CAS UNIDIMENSIONNEL. ON APPLIQUE ENSUITE CES RESULTATS A L'ETUDE DE L'HOMOGENEISATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES SEMI-LINEAIRES DE TYPE ELLIPTIQUE. ENFIN, DANS LA DERNIERE PARTIE, ON DEVELOPPE UNE APPROCHE PROBABILISTE POUR DECRIRE LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES PARABOLIQUES QUASI-LINEAIRES PERTURBEES SINGULIEREMENT. CETTE APPROCHE REPOSE SUR DES PROPRIETES DE STABILITE POUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES PROGRESSIVES-RETROGRADES QUI SONT DEMONTREES.
Author: Hadjer Moussaoui
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Languages : en
Pages : 0
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L'objectif de cette thèse est l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et progressives-rétrogrades (EDSPR), dont les résultats principaux sont : Le premier porte sur la solvabilité des EDSR à croissance logarithmique de type (lylllnlyll lzlJllnlzll) et application aux équations aux dérivées partielles (EDP). Le deuxième concerne l'existence d'un contrôle optimal stricte pour un système dirigé par une EDSPR fortement couplée. Des multiples applications sont établies. Un résultat d'existence et d'unicité de la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi-Belmann (HJB) est également établi.
Author: Anis Matoussi
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Languages : fr
Pages : 204
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Cette thèse a pour objet, d'une part, l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDDSR) et d'autre part, la preuve de l'existence et l'unicité des solutions d'équations aux dérivées partielles stochastiques quasi-linéaires (EDPS), formulées dans un sens faible ; en utilisant des solutions généralisées des équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR). dans la première partie, on s'attache à montrer l'existence d'une solution pour l'EDSR réfléchie sur une ou deux barrières à coefficient non Lipschitz. on s'interroge en effet sur les hypothèses minimales à inclure pour obtenir ce résultat. dans la seconde partie, on s'intéresse à l'EDPS quasi-lineaire suivante : U/T = LU (T, X) + F(T, X, U(T, X), (*U)(T, X))DT + H(T, X, U(T, X), (*U)(T, X))B/T(T), U(T, X) = G(X) ou G est une distribution. Compte tenu des résultats déjà connus sur ce sujet, nous répondons aux questions suivantes: - dans le cas ou les coefficients F(S, X, Y, Z) et H(S, X, Y, Z) sont linéaires en (Y, Z) et appartiennent à un espace de type Sobolev en X, existe-t-il une formulation faible des EDDSR pour donner une formule de Feynman-Kac pour la solution d'EDPS ? - dans le cas ou les coefficients sont non-linéaires, peut-on montrer l'existence et l'unicite d'une solution de l'EDPS et ainsi généraliser les résultats obtenus par Barles et Lesigne (1997) dans le cadre des EDP standards ?
