Etude mathématique et numérique des équations cinétiques de la physique PDF Download
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Author: Laurent Desvillettes
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Category :
Languages : fr
Pages : 134
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Book Description
CETTE THESE A POUR OBJET L'ETUDE MATHEMATIQUE DE CERTAINS PROBLEMES LIES A LA THEORIE CINETIQUE DES GAZ ET DES PLASMAS. NOUS NOUS INTERESSONS TOUT D'ABORD AUX PROBLEMES DE VITESSE DE CONVERGENCE VERS L'EQUILIBRE POUR UN GAZ MODELISE PAR L'EQUATION DE BOLTZMANN OU DE KAC, OU POUR UN PLASMA DECRIT GRACE A L'EQUATION DE FOKKER-PLANCK-LANDAU. NOUS DONNONS UNE MINORATION DE LA DISSIPATION D'ENTROPIE POUR CHACUNE DE CES EQUATIONS PAR LA DISTANCE A L'EQUILIBRE, DANS LE CAS DE DENSITES BORNEES INFERIEUREMENT. ENSUITE, NOUS MONTRONS MATHEMATIQUEMENT QUE LA CONVERGENCE VERS L'EQUILIBRE A EFFECTIVEMENT LIEU POUR LES SOLUTIONS RENORMALISEES DE L'EQUATION DE BOLTZMANN DANS UN DOMAINE BORNE AVEC DES CONDITIONS DE REFLEXION SPECULAIRE SUR LES BORDS, ET NOUS DONNONS LA FORME DE LA LIMITE. NOUS MONTRONS EGALEMENT CE RESULTAT DANS LE CAS D'UN PLASMA VERIFIANT L'EQUATION DE VLASOSV-POISSON-BOLTZMANN, CE QUI AMENE A CONSIDERER UNE EQUATION ELLIPTIQUE NON LINEAIRE ET NON LOCALE, POUR LAQUELLE NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE D'UNE SOLUTION REGULIERE. NOUS NOUS CONSACRONS ENSUITE A L'ETUDE DE LA VALIDITE DE LA METHODE NUMERIQUE DE SPLITTING POUR LES EQUATIONS DU TRANSFERT RADIATIF ET DE VLASOV-MAXWELL. ENFIN, NOUS DONNONS UNE METHODE FORMELLE PERMETTANT DE PASSER DU NOYAU DE BOLTZMANN A CELUI DE FOKKER-PLANCK-LANDAU, ET NOUS PROUVONS SA VALIDITE DANS LE CADRE DES EQUATIONS LINEARISEES. NOUS CONCLUSONS EN ETENDANT LE RESULTAT PRECEDENT A L'EQUATION DE KAC
Author: Laurent Desvillettes
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Languages : fr
Pages : 134
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CETTE THESE A POUR OBJET L'ETUDE MATHEMATIQUE DE CERTAINS PROBLEMES LIES A LA THEORIE CINETIQUE DES GAZ ET DES PLASMAS. NOUS NOUS INTERESSONS TOUT D'ABORD AUX PROBLEMES DE VITESSE DE CONVERGENCE VERS L'EQUILIBRE POUR UN GAZ MODELISE PAR L'EQUATION DE BOLTZMANN OU DE KAC, OU POUR UN PLASMA DECRIT GRACE A L'EQUATION DE FOKKER-PLANCK-LANDAU. NOUS DONNONS UNE MINORATION DE LA DISSIPATION D'ENTROPIE POUR CHACUNE DE CES EQUATIONS PAR LA DISTANCE A L'EQUILIBRE, DANS LE CAS DE DENSITES BORNEES INFERIEUREMENT. ENSUITE, NOUS MONTRONS MATHEMATIQUEMENT QUE LA CONVERGENCE VERS L'EQUILIBRE A EFFECTIVEMENT LIEU POUR LES SOLUTIONS RENORMALISEES DE L'EQUATION DE BOLTZMANN DANS UN DOMAINE BORNE AVEC DES CONDITIONS DE REFLEXION SPECULAIRE SUR LES BORDS, ET NOUS DONNONS LA FORME DE LA LIMITE. NOUS MONTRONS EGALEMENT CE RESULTAT DANS LE CAS D'UN PLASMA VERIFIANT L'EQUATION DE VLASOSV-POISSON-BOLTZMANN, CE QUI AMENE A CONSIDERER UNE EQUATION ELLIPTIQUE NON LINEAIRE ET NON LOCALE, POUR LAQUELLE NOUS PROUVONS L'EXISTENCE ET L'UNICITE D'UNE SOLUTION REGULIERE. NOUS NOUS CONSACRONS ENSUITE A L'ETUDE DE LA VALIDITE DE LA METHODE NUMERIQUE DE SPLITTING POUR LES EQUATIONS DU TRANSFERT RADIATIF ET DE VLASOV-MAXWELL. ENFIN, NOUS DONNONS UNE METHODE FORMELLE PERMETTANT DE PASSER DU NOYAU DE BOLTZMANN A CELUI DE FOKKER-PLANCK-LANDAU, ET NOUS PROUVONS SA VALIDITE DANS LE CADRE DES EQUATIONS LINEARISEES. NOUS CONCLUSONS EN ETENDANT LE RESULTAT PRECEDENT A L'EQUATION DE KAC
Author: Rémi Sentis
Publisher: Springer Science & Business Media
ISBN: 3319038044
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 246
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Book Description
This monograph is dedicated to the derivation and analysis of fluid models occurring in plasma physics. It focuses on models involving quasi-neutrality approximation, problems related to laser propagation in a plasma, and coupling plasma waves and electromagnetic waves. Applied mathematicians will find a stimulating introduction to the world of plasma physics and a few open problems that are mathematically rich. Physicists who may be overwhelmed by the abundance of models and uncertain of their underlying assumptions will find basic mathematical properties of the related systems of partial differential equations. A planned second volume will be devoted to kinetic models. First and foremost, this book mathematically derives certain common fluid models from more general models. Although some of these derivations may be well known to physicists, it is important to highlight the assumptions underlying the derivations and to realize that some seemingly simple approximations turn out to be more complicated than they look. Such approximations are justified using asymptotic analysis wherever possible. Furthermore, efficient simulations of multi-dimensional models require precise statements of the related systems of partial differential equations along with appropriate boundary conditions. Some mathematical properties of these systems are presented which offer hints to those using numerical methods, although numerics is not the primary focus of the book.
Author: Bernard Saramito
Publisher: Elsevier Masson
ISBN: 9782225844843
Category : Bifurcation
Languages : fr
Pages : 258
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Book Description
Ce livre étudie mathématiquement et numériquement certains des principaux types d'instabilité de l'état d'équilibre d'un plasma décrit par les équations de la magnétohydrodynamique (MHD), c'est-à-dire lorsque l'on considère le plasma comme un fluide compressible en interaction avec un champ magnétique. D'un point de vue physique, la stabilité linéarisée d'un état d'équilibre est assez bien connue. Cependant, le temps pendant lequel le plasma doit rester confiné à l'intérieur de la machine est assez grand, surtout dans les nouveaux tokamaks; il faut donc étudier le comportement non linéaire des perturbations de l'équilibre, et parfois le comportement asymptotique de ces solutions pour des temps très grands. Pour ce faire, on s'intéresse à deux types d'instabilités : la convection engendrée par le gradient de la pression de l'état d'équilibre et le déchirement des surfaces magnétiques créé par le gradient de la densité de courant à l'équilibre. On procède à l'étude numérique de ces instabilités en construisant deux modèles bidimensionnels pour chacune d'elles (code en éléments finis, méthodes spectrales). Si le problème de l'instabilité "tearing" peut être considéré comme un problème incompressible, il n'en est pas de même de la convection, la compressibilité du plasma comportant une difficulté mathématique non négligeable. Certains résultats exposés concernent donc un problème modèle de fluide compressible en stationnaire (existence globale de solutions, existence locale et unicité de solutions régulières à l'aide de techniques de type Nash-Moser). Par ailleurs, le cadre mathématique adapté à l'étude de la stabilité d'un état d'équilibre est celui de la théorie des bifurcations. Sont d'abord obtenues des branches de solutions stationnaires bifurquant à partir de l'équilibre avec une justification mathématique à l'aide d'opérations compactes pour chaque instabilité (localement pour la convection). Sous certaines hypothèses, le problème de la convection d'un plasma est approché par celui de la convection de Bénard pour un fluide incompressible. L'étude de la transition vers la turbulence à l'aide de bifurcations successives n'est alors entreprise que sur ce problème approché, pour lequel on obtient des résultats concernant le comportement asymptotique des solutions. Les résultats relatifs à l'instabilité de déchirement des surfaces magnétiques sont ensuite présentés. Tous les résultats mathématiques sont présentés dans un cadre général. Certains sont valables en dimension 2 ou 3, d'autres ne concernent que la dimension 2. Leur application à l'étude des deux types d'instabilité permet une interprétation théorique de divers phénomènes physiques. Certaines analogies avec des problèmes fluides sont développées et de nouveaux résultats sont exposés.
Author: Stéphane Dellacherie
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Languages : fr
Pages : 366
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LORS DE LA FORMATION DU POINT CHAUD DANS UNE EXPERIENCE DE FUSION PAR CONFINEMENT INERTIEL, LE PLASMA AU CENTRE DE LA SPHERE DE DEUTERIUM-TRITIUM PEUT ETRE LOIN DE L'EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE LOCAL. DANS LA PREMIERE PARTIE, ON DECRIT DONC UN MODELE CINETIQUE IONIQUE DE TYPE VLASOV-FOKKER-PLANCK SUSCEPTIBLE DE PRENDRE EN COMPTE CES DESEQUILIBRES. APRES AVOIR RAPPELE LES GRANDES ETAPES POUR RESOUDRE NUMERIQUEMENT LE SYSTEME OBTENU, ON INTRODUIT LA NOTION DE MOYENNE ENTROPIQUE POUR DEFINIR UN NOUVEAU SCHEMA NUMERIQUE TRAITANT LES COLLISIONS ION-ELECTRON HOMOGENES EN ESPACE. CE SCHEMA EST CONSERVATIF, STABLE ET ENTROPIQUE SOUS UN CRITERE DE TYPE CFL DANS SA VERSION EXPLICITE. DANS SA VERSION SEMI-IMPLICITE, ON ETABLIT QUE CE SCHEMA CONSERVE L'EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE. LE TEMPS DE CALCUL POUR RESOUDRE LES EQUATIONS CINETIQUES ETANT TRES IMPORTANT, IL EST NECESSAIRE D'ETUDIER LA POSSIBILITE DE NE RESOUDRE CES EQUATIONS QUE LA OU C'EST NECESSAIRE C'EST A DIRE PRINCIPALEMENT AU CENTRE DE LA SPHERE DE DEUTERIUM-TRITIUM. DANS LA SECONDE PARTIE, ON PROPOSE DONC UNE TECHNIQUE DE COUPLAGE CINETIQUE-FLUIDE, LA FORMATION DU POINT CHAUD ETANT TRAITEE AVEC LE MODELE CINETIQUE, LE RESTE AVEC LES EQUATIONS D'EULER A DEUX TEMPERATURES (TEMPERATURES IONIQUE ET ELECTRONIQUE). LES IONS DEUTERIUM ET TRITIUM POUVANT NE PAS ETRE A L'EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE, ON S'EST ENSUITE POSE LA QUESTION DE LA VALIDITE DES FORMULES ANALYTIQUES DONNANT LE TAUX DE REACTION NUCLEAIRE, FORMULES ETABLIES EN SUPPOSANT QUE LE PLASMA EST A L'EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE. DANS LA TROISIEME PARTIE, ON PROPOSE DONC UNE METHODE DE TYPE MONTE-CARLO POUR RESOUDRE NUMERIQUEMENT LES EQUATIONS CINETIQUES DE TYPE BOLTZMANN QUI DECRIVENT LES REACTIONS DE FUSION THERMONUCLEAIRE ET ON MONTRE QU'EFFECTIVEMENT, LES DESEQUILIBRES THERMODYNAMIQUES RENCONTRES LORS DE LA FORMATION DU POINT CHAUD PEUVENT INVALIDER LES FORMULES USUELLES.
Author: Daniel Han-Kwan
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Languages : en
Pages : 280
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Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique de certains aspects de l’équation de Vlasov-Poisson, qui constitue un modèle cinétique classique en physique des plasmas. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la justification rigoureuse d’approxi- mations de l’équation de Vlasov-Poisson avec un champ magnétique extérieur intense, qui sont couramment utilisées, notamment lors des simulations numériques. Le but est de dé- crire certains régimes d’intérêt par des modèles asymptotiques, obtenus en faisant tendre un petit paramètre vers 0 (modélisant la physique du problème considéré) dans les équa- tions originelles. Nous étudions pour commencer la limite quasineutre, c’est-à-dire la limite quand la longueur de Debye tend vers 0, pour l’équation de Vlasov-Poisson avec des élec- trons suivant une loi de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite des plasmas froids, à l’aide de la méthode de l’entropie relative et de techniques de filtrage, nous montrons la convergence vers des équations hydrodynamiques compressibles telles que l’équation d’Euler isotherme. Nous nous intéressons ensuite à l’approximation “rayon de Larmor fini” en trois dimen- sions, qui permet de décrire le comportement turbulent d’un plasma soumis à un champ magnétique intense. Pour cette étude, qui peut en fait être interprétée comme une limite quasineutre anisotrope, nous montrons des résultats très différents selon la dynamique dé- crite. En effet, dans le cas de la dynamique avec des électrons sans masse, nous exhibons un effet stabilisant qui permet d’obtenir le même résultat que pour le système bidimen- sionnel, alors que pour la dynamique avec des ions lourds, nous mettons en évidence les conséquences d’instabilités de type multi-fluides. Dans un second temps, nous nous consacrons à l’étude mathématique du confinement d’un plasma de tokamak. Nous commençons par proposer un modèle hydrodynamique simplifié à deux températures et étudions la stabilité au sens de Lyapunov de deux états stationnaires permettant de modéliser l’équilibre du plasma. Nos résultats sont conformes à l’heuristique physique et mettent de surcroit en évidence qu’un fort gradient de température favorise la stabilité : cela pourrait fournir une explication aux modes de haut confinement (H-modes) dans les tokamaks. Pour finir, nous attaquons ce problème du point de vue de la théorie du contrôle et prouvons des résultats pour l’équation de Vlasov-Poisson en présence de champs extérieurs (typiquement un champ magnétique).
Author: David Coulette
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Languages : fr
Pages : 0
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Book Description
Ce travail de recherche s'inscrit dans la problématique de la compréhension des phénomènes de transport turbulent de l'énergie et des particules au sein des plasmas de coeur des machines de fusion thermonucléaire par confinement magnétique. L'instabilité dite de gradient de température ionique, considérée comme une des sources majeures de transport turbulent, y est étudiée au moyen d'un modèle gyrocinétique. L'originalité de ce travail consiste en l'utilisation d'un modèle réduit, dit "Multi-Water-Bag", qui permet de réduire la dimension du problème tout en préservant les effets cinétiques. Ce modèle est développé dans deux types de géométries de champ de confinement. En géométrie cylindrique, l'évolution de l'instabilité est analysée au travers de trois modèles dynamiques : linéaire, quasi-linéaire et non-linéaire. L'analyse de stabilité linéaire permet d'obtenir les caractéristiques spectrales et géométriques de l'instabilité à partir d'une situation d'équilibre instable. Dans un deuxième temps, la confrontation par le biais de simulations numériques trois modèles dynamiques permet l'examen du développement de la turbulence, ainsi que les premières étapes de la saturation de l'instabilité. En géométrie torique, une analyse linéaire de stabilité est effectuée au moyen de deux méthodes, respectivement par intégration en temps et analyse spectrale, pour obtenir les caractéristiques des modes les plus instables. Pour chacune des géométries envisagées, les diverses méthodes numériques implémentées sont décrites et leurs performances évaluées. Une attention particulière est portée tout au long de ce travail à la mise en balance des coûts et bénéfices de la réduction Multi-Water-Bag.
Author: Laurent Boudin
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Languages : fr
Pages : 134
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Book Description
Dans ce travail, nous étudions des problèmes issus de la mécanique des fluides modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous les abordons de deux points de vue différents. Dans le premier, le fluide est considéré comme un milieu continu et vérifie un système d'EDP tel que les équations de Navier-Stokes ou les équations d'Euler. Ces dernières sont obtenues en écrivant les lois de conservation de grandeurs comme la densité de masse, la quantité de mouvement ou l'énergie du fluide. Nous nous penchons sur une version simplifiée des équations de Navier-Stokes : le système des gaz sans pression unidimensionnel (avec viscosité). Plus pr'écisément, nous prouvons l'existence de solutions à ce problème, puis nous étudions le comportement de ces solutions à viscosité évanescente. Le second point de vue est celui de la théorie cinétique. le milieu ambiant est constistué de multiples particules de matière soumises à divers phénomènes physiques (collisions, réactions chimiques...). Ces particules sont décrites par une fonction de distribution qui est solution d'une équation cinétique comme l'équation de boltzmann. Nous nous intéressons plus spécifiquement à un résultat propre à des solutions globalBes de l'équation de Boltzmann à donnée initiale petite concernant la propagation des singularités.
Author: Cédric Villani
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Languages : en
Pages : 0
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Book Description
Nous étudions des équations cinétiques de la forme f/t + v. *#xf = q(f, f), t0, x, r#n, v, r#n, qui décrivent l'évolution d'un gaz ou d'un plasma dans lequel les particules subissent des collisions modélisées par l'opérateur q, dit - de Boltzmann : q(f, f) dv#* d b(v v#*,) (f'f'#* ff#*), - ou de Landau : q(f, f) = /v#i dv#*a#i#j(v v#*) (f♯*f/v#j ff#*/v#*#, #j). Les trois premières parties de cette thèse concernent les équations homogènes (indépendantes de x) #tf = q(f, f). On insiste particulièrement sur deux points : les collisions rasantes et la dissipation d'entropie. Dans la première partie, on étudie le problème de Cauchy associé aux équations de Boltzmann et de Landau homogènes (pour des sections efficaces réalistes et éventuellement singulières), des propriétés de régularité des solutions, ainsi que l'asymptotique des collisions rasantes qui permet de passer d'une équation à l'autre. La deuxième partie est consacrée au cas particulier des molécules maxwelliennes. Sous cette hypothèse, on effectue une étude détaillée du problème de Cauchy et du retour vers l'équilibre, ainsi que des liens entre théorie cinétique et théorie de l'information. Dans la troisième partie, on utilise les résultats précédents pour obtenir des estimations explicites sur la vitesse de retour vers l'équilibre dans le cas général. Dans la quatrième partie, on obtient des résultats partiels sur le problème de Cauchy pour l'équation de Landau inhomogène, et quelques estimations nouvelles sur l'équation de Boltzmann inhomogène. Enfin, dans la cinquième partie, on établit diverses formes conservatives de l'opérateur de Boltzmann, avec application à l'asymptotique des collisions rasantes.
Author: Mohammed Lemou
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Languages : en
Pages : 186
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Book Description
L'EQUATION DE FOKKER-PLANCK EST UN MODELE CINETIQUE COLLISIONNEL COMMUNEMENT UTILISE POUR MODELISER LES PLASMAS CHAUDS. CE MODELE EST DECRIT PAR UNE EQUATION D'EVOLUTION CINETIQUE COMPORTANT UN SECOND MEMBRE QUADRATIQUE APPELE FACTEUR DE COLLISION. CET OPERATEUR DE COLLISION DE FOKKER-PLANCK DERIVE DE L'OPERATEUR DE COLLISION DE BOLTZMANN LORSQUE LES INTEGRALES DIVERGENTES DUES AU POTENTIEL COULOMBIEN SONT REMPLACEES PAR LEUR PARTIE PRINCIPALE. IL EST CONSTITUE D'UN OPERATEUR DE DIFFUSION NON-LINEAIRE PAR RAPPORT A LA VARIABLE DE VITESSE, DONT LA NON-LINEARITE APPARAIT A TRAVERS LA DEPENDANCE NON LOCALE DES COEFFICIENTS DE DIFFUSION PAR RAPPORT A LA FONCTION DE DISTRIBUTION. DANS CETTE THESE, DEUX ASPECTS IMPORTANTS DE CE PROBLEME ONT ETE ETUDIES: L'ANALYSE MATHEMATIQUE ET L'ETUDE NUMERIQUE. NOUS AVONS REGARDE, EN PARTICULIER, LE PROBLEME DE L'EXISTENCE DE SOLUTIONS POUR CETTE EQUATION, LEUR LIMITE HYDRODYNAMIQUE ET LEUR COMPORTEMENT EN TEMPS GRAND. DANS L'ESPRIT DES TRAVAUX DEJA EFFECTUES POUR L'EQUATION DE BOLTZMANN, CETTE ETUDE PASSE PAR UNE ANALYSE SPECTRALE PRECISE DE L'OPERATEUR LINEARISE. UNE ANALYSE SPECTRALE DETAILLEE DE L'OPERATEUR DE FOKKER-PLANCK-LANDAU LINEARISE A ETE REALISEE DANS CETTE THESE. DANS UN CADRE PLUS SIMPLE CORRESPONDANT DANS UN CERTAIN SENS AUX MOLECULES MAXWELLIENNES, DES SOLUTIONS EXPLICITES ONT ETE EXHIBEES, FAISANT AINSI SUITE AUX TRAVAUX EQUIVALENTS DE BOBYLEV, KROOK ET WU POUR L'EQUATION DE BOLTZMANN. SUR LE PLAN NUMERIQUE, NOUS AVONS DEVELOPPE DES SCHEMAS CONSERVATIFS ET A ENTROPIE DECROISSANTE, RESTANT AINSI TRES PROCHES DES EXIGENCES DE LA PHYSIQUE. TOUJOURS SUR LE PLAN NUMERIQUE, DES METHODES RAPIDES VISANT A REDUIRE LA COMPLEXITE DU PROBLEME INITIALEMENT QUADRATIQUE PAR RAPPORT A LA VARIABLE DE VITESSE EN UNE COMPLEXITE LINEAIRE, ONT ETE MISES EN UVRE. CES METHODES UTILISENT SOIT DES ALGORITHMES MULTIGRILLES COMBINES AVEC DES METHODES D'INTEGRATION ALEATOIRES, SOIT DES DEVELOPPEMENTS MULTIPOLAIRES INSPIRES DES TRAVAUX DE GREENGARD ET ROCKLIN. DES TESTS NUMERIQUES ILLUSTRANT L'EFFICACITE DE CES ALGORITHMES ONT ETE EFFECTUES DANS CETTE THESE. UNE PARTIE DE CE TRAVAIL NUMERIQUE A ETE EFFECTUEE DANS LE CADRE D'UN CONTRAT ENTRE LE LABORATOIRE MIP (MATHEMATIQUES POUR L'INDUSTRIE ET LA PHYSIQUE, TOULOUSE) ET LE CEA DE LIMEIL
Author: Michel Sermange
Publisher:
ISBN: 9782726102978
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Languages : en
Pages : 217
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Book Description
ETUDE DE QUELQUES EQUATIONS BASEES SUR LE MODELE DE HODGKIN-HUXLEY. ETUDE DES PROBLEMES AUX LIMITES NON LINEAIRES EN MHD: ETUDE DES EQUATIONS D'EQUILIBRE MHD AXISYMETRIQUES A FRONTIERE LIBRE (BIFURCATION, CONVERGENCE DE METHODES DE CALCUL, EXISTENCE DE SOLUTIONS DANS UN CADRE DISCONTINU); ETUDE DES EQUATIONS DE STABILITE DANS LE CAS DE LA STABILITE BIDIMENSIONNELLE OU AXISYMETRIQUE. PRESENTATION DE MODULES DE CALCUL D'EQUILIBRE MHD POUR LA SIMULATION DU CONFINEMENT D'UN PLASMA DANS UN TOKAMAK
