Homogénéisation stochastique quantitative PDF Download
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Author: Alexandre Bordas
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Languages : fr
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Book Description
Cette thèse porte sur l'homogénéisation quantitative d'équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l'introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d'un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu'est l'homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu'un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d'une manière proche d'un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d'homogénéisation quantitative pour une équation parabolique - l'équation de la chaleur par exemple - dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d'un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d'utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d'en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d'en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd.
Author: Alexandre Bordas
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Languages : fr
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Cette thèse porte sur l'homogénéisation quantitative d'équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l'introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d'un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu'est l'homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu'un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d'une manière proche d'un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d'homogénéisation quantitative pour une équation parabolique - l'équation de la chaleur par exemple - dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d'un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d'utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d'en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d'en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd.
Author: Antoine Gloria
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Languages : en
Pages : 148
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Alors que la plupart des questions sont résolues en homogénéisation périodique des équations elliptiques, ceci n'est pas du tout le cas de l'homogénéisation stochastique, même dans le cadre élémentaire des équations linéaires. En effet, il n'est pas connu si l'équation dite du correcteur admet des solutions stationnaires. Dans la première partie de ce document nous abordons cette question et analysons des méthodes numériques de calcul des coefficients homogénéisés. En particulier nous montrons qu'il existe des correcteurs stationnaires à partir de la dimension trois d'espace pour des coefficients à longueur de corrélation finie. Cette théorie nous a permis d'analyser et donner des estimations de convergence optimales pour des algorithmes standard de calcul des coefficients homogénéisés. Dans la seconde partie de ce manuscrit, nous nous concentrons sur des questions plus qualitatives dans le cas d'équations non linéaires et en particulier d'élasticité non linéaire. Partant d'un modèle discret de chaînes de polymères en interaction, nous obtenons un modèle continu d'élasticité non linéaire par homogénéisation quand la taille typique des chaînes tend vers zéro. La densité d'énergie du matériau obtenu satisfait les propriétés qualitatives importantes des matériaux polymériques : indifférence matérielle, isotropie, ellipticité stricte. Nous insistons également sur les aspects numériques pour le calcul de cette densité d'énergie et son utilisation pratique.
Author: Ahmed Hajej
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Languages : en
Pages : 137
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In this work, we study the homogenization of some front propagation problems in stationary ergodic media. In the first part, we study the stochastic homogenization of non-local front propagation problems. In particular, we give a non-local variation of the perturbed test function method of Evans. The second part is devoted to numerical approximations of the effective Hamiltonian arising in stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. We establish error estimates between numerical solutions and the effective Hamiltonian. In the third part, we are interested in the stochastic homogenization of front propagation problems moving in the normal direction with possible unbounded velocity. Assuming that the media satisfies a finite range of dependence condition, we prove homogenization results.
Author: William Minvielle
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Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation d'équations dont les coefficients présentent des hétérogénéités aléatoires à petite échelle. Les difficultés liées à la résolution de telles équations aux dérivées partielles peuvent être résolues grâce à la théorie de l'homogénéisation stochastique. On substitue alors la résolution d'une équation dont les coefficients sont aléatoires et oscillants à l'échelle la plus fine du problème par la résolution d'une équation à coefficients constants. Cependant, une difficulté subsiste : le calcul de ces coefficients dits homogénéisés sont définis par une moyenne ergodique, que l'on ne peut atteindre en pratique. Seuls des approximations aléatoires de ces quantités déterministes sont calculables, et l'erreur commise lors de l'approximation est importante. Ces questions sont développées en détail dans le Chapitre 1 qui tient lieu d'introduction. L'objet du Chapitre 2 de cette thèse est de réduire l'erreur de cette approximation dans un cas nonlinéaire, en réduisant la variance de l'estimateur par la méthode des variables antithétiques. Dans le Chapitre 3, on montre comment obtenir une meilleure réduction de variance par la méthode des vari- ables de contrôle. Cette approche repose sur un modèle approché, disponible dans le cas étudié. Elle est plus invasive et moins générique, on l'étudie dans un cas linéaire. Dans le Chapitre 4, à nouveau dans un cas linéaire, on introduit une méthode de sélection pour réduire l'erreur commise. Enfin, le Chapitre 5 porte sur l'analyse d'un problème in- verse, où l'on recherche des paramètres à l'échelle la plus fine, ne connaissant que quelques quantités macroscopiques, par exemple les coefficients homogénéisés du modèle.
Author: Nicolas Clozeau
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This PhD thesis aims at a better understanding of the quantitative theory of the stochastic homogenization of elliptic equations and systems. In Chapter 2, we investigate the case of linear elliptic systems with random coefficients and long-range correlation. We adopt a parabolic approach and, by combining tools from probability (in the form of logarithmic Sobolev inequalities) and regularity theory, we optimally quantify the time decay of the parabolic semigroup with an explicit dependence on the correlation length. In Chapter 3, we turn to the analysis of nonlinear elliptic equations and systems with strongly monotone coefficients. Under a short-range correlation assumption, we prove optimal estimates on the correctors and the two-scale expansion, by developing new perturbative large-scale estimates for the linearized operator. In Chapter 4 and 5 we prove estimates on the bias in the Representative Volume Element method applied to linear elliptic equations. Using a periodization in law of the coefficients instead of considering a more classical method based on “snapshot” of the media, we establish the optimal rate of convergence of the method with respect to the size of the box by performing the first order expansion of the error. This result is obtained by combining a general formula from Gaussian calculus in the form of Price's formula that we generalise in the infinite-dimensional setting (in Chapter 4) and a two-scale expansion result of the Green's function of the random linear elliptic operator together with stochastic estimates on the correctors (in Chapter 5).
Author: Xavier Blanc
Publisher: Springer Nature
ISBN: 3031218337
Category : Mathematics
Languages : en
Pages : 469
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The book provides a pedagogic and comprehensive introduction to homogenization theory with a special focus on problems set for non-periodic media. The presentation encompasses both deterministic and probabilistic settings. It also mixes the most abstract aspects with some more practical aspects regarding the numerical approaches necessary to simulate such multiscale problems. Based on lecture courses of the authors, the book is suitable for graduate students of mathematics and engineering.
Author: Ecole normale supérieure (France)
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ISBN:
Category : Science
Languages : en
Pages : 268
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Author: Shige Peng
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Category :
Languages : fr
Pages : 103
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ON A UTILISE LA TECHNIQUE DE PERTURBATIONS ET D'HOMOGENEISATION POUR SIMPLIFIER LES MODELES MATHEMATIQUES DES SYSTEMES DETERMINISTES, DES SYSTEMES STOCHASTIQUES ET DES SYSTEMES PERIODIQUES. DANS LE PREMIER CHAPITRE, ON A TRAITE LE PROBLEME DE PERTURBATIONS SINGULIERES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES AVEC UNE INTERVENTION FORTE DU BRUIT BLANC. ON VA CONSIDERER DANS LE CHAPITRE II L'EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES AVEC COEFFICIENTS PERIODIQUES. LE PROBLEME DU CONTROLE OPTIMAL AVEC VIBRATIONS RAPIDES A ETE TRAITE DANS LE CHAPITRE III. LA DIFFERENCE ESSENTIELLE ENTRE LE PROBLEME DE PERTURBATIONS SINGULIERES EN CONTROLE OPTIMAL (DETERMINISTE CHAP. IV) ET CEUX DES TROIS PREMIERS CHAPITRES EST QU'ON A LE PHENOMENE DE LA COUCHE LIMITE SEULEMENT AU POINT INITIAL ET AU POINT FINAL DANS LE PREMIER CAS. TANDIS QUE DANS LES DERNIERS CAS, PARTOUT ON AURA LA PRESENCE DE "LA COUCHE LIMITE". PAR CONSEQUENT, ON AURA LE PHENOMENE D'HOMOGENEISATION.
Author: J. Michel
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Languages : fr
Pages : 25
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Category : Convex domains
Languages : en
Pages : 404
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